如何理解导数的概念 ?

导数

先简短地回答下我对“什么是导数”的认识：导数是用来找到“线性近似”的数学工具。

下面我来解释一下，为什么我是这样认为的。

在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：

导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

导数是用来找到“线性近似”的数学工具

导数是线性变换

我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。

因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”

1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度

微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是这么厉害）。

因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。

在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：

同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。

还可以顺便得到了切线的斜率：

我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。

1.1 但是！

把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。

在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点

：

在曲面上可以做无数条过

点的曲线（图上随便画了三根）：

把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。

我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。

顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数，可以参看我之前写过的一个回答：什么是全导数？ 。

2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。

2.1 微积分的基本思想

微积分的基本思想是“以直代曲”：

“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：

我觉得下面这幅图也挺有意思，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：

这里我希望给你一个直观印象，切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。

2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具

因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。

我们来看看，在一元函数中：

因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”（切线），但是在二元中，我们需要新的技术手段。

3 导数是线性变换

3.1 二元函数的“线性近似”

导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面（可以参考我之前的回答：如何理解全微分？ ）：

一个平面是没有斜率的概念的，因此我们不能把导数继续看作斜率了，我们需要别的方法来找到这个切平面。

3.2 线性变换

对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答什么是仿射变换？ 。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。

还是从一元的时候开始推：

上图的

指向右边，实际上求出的

是右导数，我换个方向就可以求出左导数：

如果

，相当于左右导数相等，我们就称为此点可导。

顺便说一句，此时在

点附近同样也有

。

二元函数的时候，

有无数的方向（不像一元的时候只有左右两边）：

我们把这些

分别记为

，那它们的切线分别为：

导数分别就是

（可以理解这些都是方向导数）。

导数：如果有

，那么此点可导，此点导数即为

。

为什么

就是导数？

不是还没有完成找到切平面的任务吗？

3.3 通过导数

来找到切平面

首先，所有的

肯定是共面的：

因为此点可导，即所有的

的导数都是

，所以变换后的结果也共面（线性变换的特点是，变换前是共面的，变换后也是共面的）：

看看动画吧（可以旋转视角来观察）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

对所有的

的都进行

变换，实际上就得到了切平面：

至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”

注意，有一点需要特别说明的是，因为矢量的起始点要求是在原点，但是我上面把起始点放在

点了，所以实际上是仿射变化，所以实际上

，

仍然是导数。