根号2:迷人的 √2
根号2（迷人的 √2）
每一种新的进步，都必然表现为对某种神圣事物的亵渎。
——马克思
（一）√2的诞生，沾满鲜血，令人扼腕叹息
古希腊著名的毕达哥拉斯学派(Pythagoreanism)认为"万物皆数"，世间万物(包括宇宙星辰)的性质都是由自然数之间的比值决定的。
所以这个学派的一个基本信条是：自然数和分数是万事万物的本质。但是，据说毕达哥拉斯学派内部的一个成员希巴斯(Hippasus)却动摇了这个信条，希巴斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题："边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？" 他根据毕达哥拉斯定理，计算是根号2 ，并发现根号2 即不是整数，也不是整数的比。他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。
"什么？"毕达哥拉斯大吃一惊，"竟然有不是整数又不是整数之比的东西？""是的！"希巴斯说，"我已经证明了这一点！"希巴斯证明√2不是两个整数的比的过程采用的是反证法。
希巴斯的论证极富逻辑性，无懈可击。毕达哥拉斯看过希巴斯的证明后，闷声不响，双手颤抖，额面上冒出汉珠。希巴斯连忙问："怎么了老师，我做错了吗？"
"你没有错！你……你给我出去！"毕达哥拉斯神态异常，挥手让希巴斯出去。希巴斯不解地看着老师，迈步出门。刚要关上门，毕达哥拉斯又突然喊到："回来！" 希巴斯又走回来。毕达哥拉斯口气十分严肃地说："你给我证！这事不许外传，除了你除了我，不许让第三个人知道！"
"为什么？""不为什么！这是我的规矩，懂吗？"希巴斯狐疑地点点头，告辞走了。
出现一个小小的√2，毕达哥拉斯为什么令他惊恐不安呢？我们知道，是无理数，是不能表示为分数的数，尽管当时毕达哥拉斯大名鼎鼎，但对无理数也一无所知。他早就宣布世界上只有整数或整数之比，却偏偏出现一个像这样的既不是整数又不是整数之比的数，他怎么能不感到为难呢？为了维护自己尊敬的信仰，也为了保住自己的脸面，数学巨人毕达哥拉斯对这类新的数采取"不承认主义"，他威逼希巴斯保密，不要把事情说出去。还在他的弟子中宣布："谁泄密的话埋谁！" 毕达哥拉斯惟恐事情张扬，会动摇他们整个毕氏学派的基础。
但希巴斯是一个很有思想，敢于坚持真理的人。他没有被权威吓倒，也没有放弃对的探求，一有机会仍然要宣传√2客观存在。希巴斯的观点和毕达哥拉斯大权威的观点针锋相对。对此，毕达哥拉斯恨之入骨，以为希巴斯反叛，也是拆他的台，便指使人把希巴斯当叛徒者处死。希巴斯闻讯，连忙跳上一只刚启航的海船逃离。毕老先生又叫人驾船追捕，追到大海上，把希巴斯逮住。希巴斯据理争辩，被毕氏的其它门徒拳打脚踢，打得遍体鳞伤，最后被扔进了大海。
毕达哥拉斯为了掩盖小小的带来的矛盾，惨忍杀害了一个有才华的青年。公元500年毕学派经历的这场数学思想的矛盾冲突。数学史上称之为第一次数学危机。第一次数学危机是数学史上的一次重要事件，以√2的发现为导火线，最终以无理数的定义出现为结束标志。
另外说明了一些新的数学知识、内容、理论、学科的发现不仅要付出自己的聪明才智，甚至要
付出生命的代价，所以先辈门说√2是一个充满着血腥味的数。希巴斯为√2 的诞生献出了自己的宝贵的生命！ 在希巴斯首次发现了√2 以后，人们又陆陆续续发现了类似√2 的数，这些数就是我么们今天所学习的无理数。无理数的发现进一步扩充了数的范围，使数学学科发展迎来了巨大的进步！
这样的结果既令人遗憾，也使人鼓舞。正是这些伟大先驱们的前赴后继，才成就了西方的学术自由和探求真理的传统，最终孕育出来以科学技术为主导的现代人类文明，使全体人类和整个世界为之受益！
（二）√2独特应用凸显独特魅力
古希腊人不会知道，2100多年后，中华文明发展到明朝，数学家朱载堉自制了双排八十一档的大算盘，把2的十二次开方算到了25位有效数字，强大的计算能力能给予无理数在数学家庭的位置。以此为基础，朱载堉发明了十二平均律，将音乐与数字的联系计算出更为精微的刻度，形成现代乐器制作的基础。
为什么朱载堉会对2的开方那么痴迷？√2，在华夏文化中是重要的审美根基。这或许源于春秋末年，较毕达哥拉斯晚一些时候的墨子。彼时的墨子掌握着整个世界统一化的关键基础----每次打开双手就能看到----不是尺规，是十进制。
相比较，古希腊的数字符号，不但不是十进制，甚至不是位值制，无法作为数量符号来运算。墨子正是华夏首个对数字的位值制进行总结阐述的科学家，还有，在墨子的时代，已经出现了九九乘法表。作为杰出的数学家、科学家和能工巧匠，不一定是墨子本人，但√2的审美基础极有可能是他的流派所发现。这个审美基础是每个华夏子民都知晓的概念：天圆地方。
中国古代匠人不操心，中国古代匠人用一个简单整数比来对付它：匠人有一句口诀叫方五斜七。什么意思呢？正方形边长如果是5，对角线约等于7。我们知道√2约等于1.414对不对，7除以5等于1.4——很接近了嘛。《营造法式》的作者李诫嫌这个太粗糙了，怎么能这样呢？他给了一个141：100，这下好多了，1.41，更接近了。这是中国匠人的智慧。
在王南的著作《规范方圆 天地之和》中揭示了这个秘密，也找到了很多古建筑实例，证明了1：√2的实际应用。王南根据《营造法式》里的图文进行研究，而《营造法式》引用的是中国最古老的数学和天文学著作《周髀算经》"万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉"。周髀两个字，意思就是天象盖子、地象棋盘。
下面我们来看看这个形状在中国古建筑当中的运用。我们还举前面说的这两个建筑：佛光寺大殿和应县木塔，来看√2比例是怎么在设计当中运用。
我们先看佛光寺大殿，唐朝建筑。如果以佛光寺大殿的总高为边长做一个正方形，再以它的对角线做一个弧线，刚好是它总宽的一半。大家看出来了吗？我们还可以对称地做这半边。再做一个正方形，以对角线做一个弧线，就把这半边也铺满了。句话说，如果总高是1，总宽是两个√2，它的正立面是两√2矩形。
我们再来看佛光寺大殿的平面。它的平面是一个回字型，在这个回字型当中，最最重要的是中间这个核心空间，这里是供佛像的空间。这个形状跟刚才一样，又是两个√2矩形组成。换句话说这个空间的形状和正立面是一个相似形。
还没完，我们来到佛光寺的核心，它的剖面图，这时候我们已经能看到大殿里供奉的所有佛像了。如果我们以中间这个最最重要的佛像的高度为边长做一个正方形，然后用圆方方圆图做它的外接圆。这时候外接圆的直径等于什么呢？等于它中央这个开间的宽度。
换句话说，如果佛像高是1，中央这个开间的宽度√2。建筑是为这个佛像量身定做的，而且它们之间符合√2比例。我们看一下计算机精确做图的结果，这大概就是佛光寺大殿当时设计的理念。
五台山佛光寺东大殿设计理念分析图
如果以这个黄色的正方形也就是佛像的高为1，那么中央开间的宽度√2。这个建筑的高度是4，然后它的宽是4√2。就像帕提农神庙一样，佛光寺身上从整体到局部甚至到它的塑像，都在反复地使用方圆之间的比例。很可惜帕提农神庙里的神像已经不在了，不知道西方人有没有做到这一步的控制。
来到应县木塔。应县木塔的总高和它一层的宽度是个什么关系呢？宽度是1的话，总高是2√2。总高和一层最重要的这个佛像的高度的关系是什么呢？佛像高是1，总高是6。他们一直是把建筑和佛像进行了这种拴系。我把这种为佛像量身定做建筑的方法称作度像构屋。
大家还记得前面讲过雅典帕提农神庙的柱子是神庙的大长腿，总高和柱高是黄金分割，那应县木塔怎么做这件事情呢？应县木塔是令总高和最顶层的立柱以下的高度成√2比例，所以在这件事情上中西方也算是异曲同工吧。
更有意思的事情在这儿。如果我们同时看应县木塔和佛光寺就会吓一跳，原来应县木塔的高宽比和佛光寺正好是旋转了90度。应县木塔的宽是1，高是2√2，佛光寺是高是1，宽是2√2。如果转个90度，塔就变成殿了，殿就变成塔了。
无限重复的等比例效应应用于寺庙大殿、佛像的宽高比，就像佛法，须弥山藏于芥子。这样一个无理数，引发了第一次数字危机，深藏于华夏的古建筑，如今在日常办公环境随处可见。虽然我们的认知体系没有能完全发掘其奥秘，但逻辑上对数字和比例的奇妙，已经完全能形成共识。更先进而统一的数字表达体系和运算法则，无疑能帮助我们今天轻易超越毕达哥拉斯，不会对无理数视而不见。
应县木塔
其实《营造法式》这本书里有答案。在配合“圆方方圆图”这个插图的文字当中，《营造法式》引了更古老的一本书《周髀算经》的一段话。《周髀算经》是中国最古老的数学和天文学著作，这段话很重要：“万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。”
下面我们要看一看中国的天圆地方的这个传统究竟有多久远。据天文考古学者冯时先生指出，早在5000年前新石器时代，在辽宁牛河梁红山文化遗址里，神奇地发现了一组圜丘和方丘。这恐怕是中国最早的天坛和地坛。
辽宁牛河梁红山文化遗址的圜丘和方丘
这个圜丘就很像我现在站的这个位置。但是它是由三层圆环组成的，这三层圆环的直径之比居然神奇的是1：√2：2。就像刚才的独乐寺观音阁一样，就像圆方方圆图一样，所以这件事情在中华民族的文化里可谓是源远流长。
（三）A4纸的魔力
在日常生活中，我们经常与 A4 纸打交道，这种纸的标准尺寸是：210毫米 × 297毫米，算一下它的长宽比：297：210＝99：70≈ 1.414，
如果取两张 A4 纸，沿着纸的长边把它们拼在一起，可以得到一张大纸，尺寸是：420毫米 × 297毫米，再算一下它的长宽比：420：297≈ 1.414，大纸与小纸的长宽比基本不变，而且都与 √2 相当接近！这是否是巧合？
事实上，如果一张纸具有理想的长宽比 √2：1，那么它会把自己的长宽比 "遗传" 给 "下一代"，具体来说就是：最初大长方形纸的长宽比是：√2：1，把这样的大纸沿长边对折后，得到的小长方形纸的长宽比为：1：（√2 / 2），仍然为 √2 ：1，这样的操作还可以重复多次，A 系列纸正是通过这种方式得到的。
在 A 系列纸中，原始纸成为 A0，它的尺寸规格是：1189毫米 × 841毫米，简单计算可得它的面积接近 1 平方米，同时长宽比非常接近 √2：1，把 A0 纸沿长边对折裁开，于是得到 A1 纸，其尺寸规格是：841毫米 × 594毫米，对 A1 纸进行同样操作，可以得到 A2 纸，其尺寸规格是：594毫米 × 420毫米，以此类推，即可得到 A 系列型号的纸A1 意味着在原始纸 A0 的基础上对折了 1 次，A2 意味着在原始纸 A0 的基础上对折了 2 次……，那么，选择长宽比为 √2：1 的纸在实际中有什么好处呢？
简单来说，用具有这种性质的纸张作备料，没有剩余的碎纸边，可避免浪费，从而降低再生产的成本并提高工效。简单说将A4纸的宽进行对折，它的宽和高的比例始终都是一个定值，也就是说，无论你如何将它的宽怎样对折，它的比例都是不变的。也许，人生也是一样，随着时间的不断折叠。无论我们跑多远，无论你在哪里，到头来，你始终发现，一切仿佛就在原点。